2023-03-02  阅读(337)
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哈希表的概念

哈希表(Hash Table)是一种特殊的数据结构,它最大的特点就是可以快速实现查找、插入和删除。

我们知道,数组的最大特点就是:寻址容易,插入和删除困难;而链表正好相反,寻址困难,而插入和删除操作容易。那么如果能够结合两者的优点,做出一种寻址、插入和删除操作同样快速容易的数据结构,那该有多好。这就是哈希表创建的基本思想,而实际上哈希表也实现了这样的一个“夙愿”,哈希表就是这样一个集查找、插入和删除操作于一身的数据结构。

哈希表(Hash Table):也叫散列表,是根据关键码值(key-value)而直接进行访问的数据结构,也就是我们常用到的map。

哈希函数:也称为是散列函数,是Hash表的映射函数,它可以把任意长度的输入变换成固定长度的输出,该输出就是哈希值。哈希函数能使对一个数据序列的访问过程变得更加迅速有效,通过哈希函数,数据元素能够被很快的进行定位。

哈希表和哈希函数的标准定义:若关键字为k,则其值存放在h(k)的存储位置上。由此,不需比较便可直接取得所查记录。称这个对应关系f为哈希函数,按这个思想建立的表为哈希表。

设计出一个简单、均匀、存储利用率高的散列函数是散列技术中最关键的问题。
但是,一般散列函数都面临着冲突的问题。两个不同的关键字,由于散列函数值相同,因而被映射到同一表位置上。该现象称为冲突(Collision)或碰撞。发生冲突的两个关键字称为该散列函数的同义词(Synonym)。

设m和n分别表示表长和表中填入的结点数,则将α=n/m定义为散列表的装填因子(Load Factor)。α越大,表越满,冲突的机会也越大。通常取α≤1。

哈希表的实现方法

哈希表的实现就是映射函数构造,看某个元素具体属于哪一个类别。如何构造我们要考虑两个问题:

  • n个数据原仅占用n个地址,虽然散列查找是以空间换时间,但仍希望散列的地址空间尽量小。
  • 无论用什么方法存储,目的都是尽量均匀地存放元素,以避免冲突。

所以,我哈希表的映射函数构造方法也有很多,常见的有:直接定址法、 除留余数法、 乘余取整法、 数字分析法、 平方取中法、 折叠法、 随机数法等。

1、直接定位法

Hash(key) = a·key + b (a、b为常数)

优点 :以关键码key的某个线性函数值为哈希地址,不会产生冲突.

缺点 :要占用连续地址空间,空间效率低。

例: 关键码集合为{100,300,500,700,800,900}, 选取哈希函数为Hash(key)=key/100, 则存储结构(哈希表)如下:

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2、除留余数法

Hash(key) = key mod p (p是一个整数)

特点 :以关键码除以p的余数作为哈希地址。

关键 :如何选取合适的p?

技巧 :若设计的哈希表长为m,则一般取p≤m且为质数 (也可以是不包含小于20质因子的合数)。

3、乘余取整法

Hash(key) = [B*( A*key mod 1 ) ]下取整 (A、B均为常数,且0<A<1,B为整数)

特点: 以关键码key乘以A,取其小数部分,然后再放大B倍并取整,作为哈希地址。

例: 欲以学号最后两位作为地址,则哈希函数应为: H(k)=100*(0.01*k % 1 ) 其实也可以用法2实现: H(k)=k % 100

4、数字分析法

特点: 某关键字的某几位组合成哈希地址。所选的位应当是:各种符号在该位上出现的频率大致相同。

例:有一组(例如80个)关键码,其样式如下:

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5、平方取中法

特点: 对关键码平方后,按哈希表大小,取中间的若干位作为哈希地址。

理由 :因为中间几位与数据的每一位都相关。

:2589的平方值为6702921,可以取中间的029为地址。

6、折叠法

特点: 将关键码自左到右分成位数相等的几部分(最后一部分位数可以短些),然后将这几部分叠加求和,并按哈希表表长,取后几位作为哈希地址。

适用于 :每一位上各符号出现概率大致相同的情况。

法1:移位法 ── 将各部分的最后一位对齐相加。

法2:间界叠加法──从一端向另一端沿分割界来回折叠后,最后一位对齐相加。

例: 元素42751896, 用法1: 427+518+96=1041 用法2: 427 518 96—> 724+518+69 =1311

哈希表定址与解决冲突

Hash表解决冲突的方法主要有以下几种:

开放定址法(开地址法)、 链地址法(拉链法)、 再哈希法(双哈希函数法)、 建立一个公共溢出区,而最常用的就是 开发定址法链地址法

1、开放定址法

如果两个数据元素的哈希值相同,则在哈希表中为后插入的数据元素另外选择一个表项。当程序查找哈希表时,如果没有在第一个对应的哈希表项中找到符合查找要求的数据元素,程序就会继续往后查找,直到找到一个符合查找要求的数据元素,或者遇到一个空的表项。线性探测带来的最大问题就是冲突的堆积,你把别人预定的坑占了,别人也就要像你一样去找坑。改进的办法有二次方探测法和随机数探测法。开放地址法包括 线性探测二次探测 以及 双重散列 等方法。

设计思路: 有冲突时就去寻找下一个空的哈希地址,只要哈希表足够大,空的哈希地址总能找到,并将数据元素存入。

含义: 一旦冲突,就找附近(下一个)空地址存入。

具体实现:

  1. 线性探测法

Hi=(Hash(key)+di) mod m ( 1≤i < m ) 其中: Hash(key)为哈希函数 m为哈希表长度 di 为增量序列 1,2,…m-1,且di=i

例:

关键码集为 {47,7,29,11,16,92,22,8,3},

设:哈希表表长为m=11; 哈希函数为 Hash(key)=key mod 11 ; 拟用线性探测法处理冲突。建哈希表如下:

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解释:

① 47、7(以及11、16、92)均是由哈希函数得到的没有冲突的哈希地址;

② Hash(29)=7,哈希地址有冲突,需寻找下一个空的哈希地址:由H1=(Hash(29)+1) mod 11=8,哈希地址8为空,因此将29存入。

③ 另外,22、8、3同样在哈希地址上有冲突,也是由H1找到空的哈希地址的。其中3 还连续移动了两次(二次聚集)

    int FindHash(SeqList* pL, KeyType K) 
    {
        int c=0;  int p=Hash(K); /*求得哈希地址*/
        while(pL->data[p].key!=NULL_KEY && K!=pL->data[p].key && ++c<MAXNUM)    p=Hash(K+c);
        if(K==pL->data[p].key) {
            printf("\n成功找到 %d", K);
            return p; /*查找成功,p返回待查数据元素下标*/
        }
        else if(pL->data[p].key==NULL_KEY) {
           printf("\n无法找到 %d , 在位置 %d 插入。", K,p);
           pL->data[p].key = K;   pL->n++;
           return p;
        } else {
           printf("\n无法找到 %d , 表已满。", K);
           return -1;
        }
    }

讨论:

线性探测法的优点:只要哈希表未被填满,保证能找到一个空地址单元存放有冲突的元素;

线性探测法的缺点:可能使第i个哈希地址的同义词存入第i+1个哈希地址,这样本应存入第i+1个哈希地址的元素变成了第i+2个哈希地址的同义词,……,因此,可能出现很多元素在相邻的哈希地址上“堆积”起来,大大降低了查找效率。

解决方案:可采用二次探测法或伪随机探测法,以改善“堆积”问题。

2) 二次探测法

仍举上例,改用二次探测法处理冲突,建表如下:

Hi=(Hash(key)±di) mod m 其中:Hash(key)为哈希函数 m为哈希表长度,m要求是某个4k+3的质数; di为增量序列 12,-12,22,-22,…,q2

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注:只有3这个关键码的冲突处理与上例不同, Hash(3)=3,哈希地址上冲突,由 H1=(Hash(3)+12) mod 11=4,仍然冲突; H2=(Hash(3)-12) mod 11=2,找到空的哈希地址,存入。

2 、链地址法(拉链法)

基本思想 :将具有相同哈希地址的记录链成一个单链表,m个哈希地址就设m个单链表,然后用一个数组将m个单链表的表头指针存储起来,形成一个动态的结构。

注: 有冲突的元素可以插在表尾,也可以插在表头

:设{ 47, 7, 29, 11, 16, 92, 22, 8, 3, 50, 37, 89 }的哈希函数为: Hash(key)=key mod 11, 用拉链法处理冲突,则建表如下图所示。

202303022156239655.png

3、再哈希法(双哈希函数法)

Hi=RHi(key) i=1, 2, …,k

RHi均是不同的哈希函数,当产生冲突时就计算另一个哈希函数,直到冲突不再发生。

优点: 不易产生聚集;

缺点: 增加了计算时间。

4. 建立一个公共溢出区

思路 :除设立哈希基本表外,另设立一个溢出向量表。 所有关键字和基本表中关键字为同义词的记录,不管它们由哈希函数得到的地址是什么,一旦发生冲突,都填入溢出表。

这个方法其实就更加好理解,你不是冲突吗? 好吧,凡是冲突的都跟我走,我给你们这些冲突找个地儿待着。这就如同孤儿院收留所有无家可归的孩子 样,我们为所有冲突的关键字建立了一个公共的溢出区来存放.

哈希表的查找及分析

哈希查找过程

哈希表的主要目的是用于快速查找,且插入和删除操作都要用到查找。由于散列表的特殊组织形式,其查找有特殊的方法。 设散列为HT[0…m-1],散列函数为H(key),解决冲突的方法为R(x, i) ,则在散列表上查找定值为K的记录的过程如图所示。

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查找效率分析

明确 :散列函数没有“万能”通式,要根据元素集合的特性而分别构造。

讨论 :哈希查找的速度是否为真正的O(1)?

不是。由于冲突的产生,使得哈希表的查找过程仍然要进行比较,仍然要以平均查找长度ASL来衡量。 一般地,ASL依赖于哈希表的装填因子,它标志着哈希表的装满程度。

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讨论:

1) 散列存储的查找效率到底是多少?

答:ASL与装填因子α有关!既不是严格的O(1),也不是O(n)

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2)“冲突”是不是特别讨厌?

答:不一定!正因为有冲突,使得文件加密后无法破译(不可逆,是单向散列函数,可用于数字签名)。 利用了哈希表性质:源文件稍稍改动,会导致哈希表变动很大。

练习:

给定关键字序列 11,78,10,1,3,2,4,21 ,试分别用顺序查找、二分查找、二叉排序树查找、散列查找(用线性探查法和拉链法)来实现查找,试画出它们的对应存储形式(顺序查找的顺序表,二分查找的判定树,二叉排序树查找的二叉排序树及两种散列查找的散列表),并求出每一种查找的成功平均查找长度。散列函数H(k)=k%11。

1) 顺序查找 的成功平均查找长度为: ASL=(1+2+3+4+5+6+7+8)/8=4.5;

2) 二分查找 的判定树(中序序列为从小到大排列的有序序列)如图所示

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从上图可以得到二分查找的成功平均查找长度为: ASL=(1+2*2+3*4+4)/8=2.625;

3) 二叉排序树 (关键字顺序已确定,该二叉排序树应唯一)如图 所示

2023030221562839710.png

从图可以得到二叉排序树查找的成功平均查找长度为: ASL=(1+2*2+3*2+4+5*2)=3.125;

4) 线性探查法 解决冲突的散列表如图所示

2023030221562916711.png

从图可以得到线性探查法的成功平均查找长度为: ASL=(1+1+2+1+3+2+1+8)/8=2.375;

5) 拉链法 解决冲突的散列表 如图所示

2023030221562988012.png

从图可以得到拉链法的成功平均查找长度为: ASL=(1*6+2*2)/8=1.25。

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