2023-09-22  阅读(182)
原文作者:李林超 原文地址: https://www.lilinchao.com/archives/561.html

一、基本介绍

(1)黄金分割点是指把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比。这是一个神奇的数字,会带来意向不到的效果。

(2)菲波那切数列{1,1,2,3,5,8,13,21,34,55}发现斐波那契数列的两个相邻数的比例,无限接近黄金分割值0.618

202309222131046401.png

二、菲波那切(黄金分割法)原理

菲波那切查找原理与前两种相似,仅仅改变了中间结点(mid)的位置,mid不再是中间或插值得到,而是位于黄金分割点附近,即mid=low+F(k-1)-1(F代表菲波那切数列),如下图所示

202309222131057932.png

对F(k-1)-1的理解:

(1)由菲波那切数列F[k]=F[k-1]+F[k-2]的性质,可以得到(F[k]-1)=(F[k-1]-1)+(F[k-2]-1)+1,该式说明:只要顺序表的长度为F[k]-1,则可以将该表分成长度为F[k-1]-1和F[k-2]-1的两段,即如上图所示。从而中间位置为mid=low+F(k-1)-1

(2)类似的,每一子段也可以用相同的方式分割

(3)但顺序表长度n不一定刚好等于F[k]-1,所以需要将原来的顺序表长度n增加至F[k]-1。这里的k值只要能使得F[k]-1恰好大于或等于n即可。由以下代码得到,顺序表长度增加后,新增的位置(从n+1到F[k]-1位置),都赋为n位置的值即可。

    while(n>fib(k)-1)
    k++;

菲波那切查找应用案例

请对一个有序数组进行斐波那契查找{1,8,10,89,1000,1234},输入一个数看看该数组是否存在此数,并且求出下标,如果没有就提示“没有这个数”。

    public class FibonacciSearch {
    
        public static int maxSize=20;
        public static void main(String[] args) {
            int[] arr={1,8,10,89,1000,1234};
            System.out.println("index="+fibSearch(arr,89));
        }
    
        //因为后面我们mid=low+F(k-1)-1,需要使用到菲波那切数列,因此我们需要先获取到一个斐波那契数列
        //非递归方法得到一个菲波那切数列
        public static int[] fib(){
            int[] f = new int[maxSize];
            f[0]=1;
            f[1]=1;
            for (int i=2;i<maxSize;i++){
                f[i]=f[i-1]+f[i-2];
            }
            return f;
        }
    
        //编写菲波那切查找算法
        //使用非递归的方式编写算法
        public static int fibSearch(int[] a,int key){
            int low=0;
            int hight=a.length-1;
            int k=0;//表示斐波那契分割数值的下标
            int mid=0;//存放mid值
            int f[]=fib();//获取到菲波那切数列
            //获取到菲波那切分割数值的下标
            while (hight>f[k]-1){
                k++;
            }
            //因为f[k]值可能大于a 的长度,因此我们需要使用Arrays类,构造一个新的数组,并指向temp[]
            //不足的部分会使用0填充
            int[] temp= Arrays.copyOf(a,f[k]);
            //实际上需求使用a数组最后的数填充temp
            //举例:
            //temp={1,8,10,89,1000,1234,0,0}=>{1,8,10,89,1000,1234,1234,1234}
            for(int i=hight+1;i<temp.length;i++){
                temp[i]=a[hight];
            }
            //使用while来循环处理,找到我们的数key
            while(low <= hight){//只要这个条件满足,就可以找
                mid = low + f[k-1]-1;
                if(key<temp[mid]){//我们应该继续向数组的前面查找(左边)
                    hight=mid-1;
                    //为什么是 k--
                    //说明
                    //1.全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                    //2.f[k]=f[k-1]+f[k-2]
                    //因为前面有f[k-1]个元素,所以可以继续拆分f[k-1]=f[k-2]+f[k-3]
                    //即 在  f[k-1]的前面继续查找k--
                    //即下次循环 mid=f[k-1-1]-1
                    k--;
                }else if(key > temp[mid]){//我们应该继续向数组的后面查找(右边)
                    low = mid + 1;
                    //为什么是k-=2
                    //说明
                    //1.全部元素 = 前面的元素 + 后边元素
                    //2.f[k]=f[k-1]+f[k-2]
                    //因为后面有f[k-2]个元素,所以可以继续拆分f[k-1]=f[k-3]+f[k-4]
                    //即 在  f[k-2]的前面继续查找k-=2
                    //即下次循环 mid=f[k-1-2]-1
                    k-=2;
                }else {//找到
                    //需要确定,返回的是哪个下标
                    if(mid<=hight){
                        return mid;
                    }else {
                        return hight;
                    }
                }
            }
            return -1;
        }
    }

运行结果

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